Question

13．已知$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}+m$，m是實(shí)常數(shù)，
（1）當(dāng)m=1時(shí)，寫出函數(shù)f（x）的值域；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給出證明；
（3）若f（x）是奇函數(shù)，不等式f（f（x））+f（a）＜0有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=1時(shí)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可寫出函數(shù)f（x）的值域；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給出證明；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}+1$，定義域?yàn)镽，
${3^x}+1∈（{1，+∞}），\frac{2}{{{3^x}+1}}∈（{0，2}）$，$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}+1∈（{1，3}）$，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?，3）．…（3分）
（2）f（x）為非奇非偶函數(shù)．…（5分）
當(dāng)m=0時(shí)，$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}，f（1）=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}，f（{-1}）=\frac{2}{{\frac{1}{3}+1}}=\frac{3}{2}$，
因?yàn)閒（-1）≠f（1），所以f（x）不是偶函數(shù)；
又因?yàn)閒（-1）≠-f（1），所以f（x）不是奇函數(shù)；
即f（x）為非奇非偶函數(shù)．…（8分）
（3）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）恒成立，即$\frac{2}{{{3^x}+1}}+m=-\frac{2}{{{3^x}+1}}-m$對(duì)x∈R恒成立，
化簡(jiǎn)整理得$-2m=\frac{{2×{3^x}}}{{1+{3^x}}}+\frac{2}{{{3^x}+1}}=2$，即m=-1．…（10分）
（若用特殊值計(jì)算m，須驗(yàn)證，否則，酌情扣分．）
下用定義法研究$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1$的單調(diào)性：
設(shè)任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{3^{x_1}}+1}}-1-\frac{2}{{{3^{x_2}}+1}}+1$=$\frac{{2（{{3^{x_2}}-{3^{x_1}}}）}}{{（{{3^{x_1}}+1}）（{{3^{x_2}}+1}）}}＞0$，…（13分）
所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
因?yàn)閒（f（x））+f（a）＜0有解，且函數(shù)為奇函數(shù)，
所以f（f（x））＜-f（a）=f（-a）有解，
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，所以f（x）＞-a有解，即f_max（x）＞-a有解，
又因?yàn)楹瘮?shù)$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1$的值域?yàn)椋?1，1），
所以-a＜1，即a＞-1．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域，奇偶性以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)，