Question

8．已知等邊三角形的一個頂點(diǎn)位于拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上，則這個等邊三角形的邊長為（4±2$\sqrt{3}$）p．

Answer 1

分析 運(yùn)用拋物線關(guān)于x軸對稱，結(jié)合題意可設(shè)頂點(diǎn)A（$\frac{{m}^{2}}{2p}$，m），B（$\frac{{m}^{2}}{2p}$，-m），求得拋物線的焦點(diǎn)F，等邊三角形的邊長和高，由等邊三角形的性質(zhì)，可得m的方程，解方程可得邊長．

解答 解：由拋物線y²=2px關(guān)于x軸對稱，
設(shè)等邊三角形的一個頂點(diǎn)C位于拋物線的焦點(diǎn)F，另外兩個頂點(diǎn)A，B在拋物線上，
則A，B點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，
可設(shè)A（$\frac{{m}^{2}}{2p}$，m），B（$\frac{{m}^{2}}{2p}$，-m），
拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），
可得等邊三角形ABC的邊長為2|m|，高為|$\frac{p}{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2p}$|，
由|$\frac{p}{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2p}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2|m|，
解方程可得|m|=（2±$\sqrt{3}$）p，
則等邊三角形的邊長為（4±2$\sqrt{3}$）p．
故答案為：（4±2$\sqrt{3}$）p．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用對稱性，同時(shí)考查等邊三角形的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．