Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y²=20x的焦點(diǎn)重合，且一條漸近線方程為4x+3y=0．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若雙曲線上有一點(diǎn)P使得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0（F₁，F(xiàn)₂為雙曲線的左，右焦點(diǎn)），求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先由雙曲線的漸近線可知$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，再由拋物線y²=20x的焦點(diǎn)為（5，0）可得雙曲線中c=5，最后根據(jù)雙曲線的性質(zhì)c²=a²+b²列方程組，解得a²、b²即可．
（2）令PF₁=p，PF₂=q，由勾股定理得p²+q²=|F₁F₂|²，求得p²+q²的值，由雙曲線定義：|p-q|=2a兩邊平方，把p²+q²代入即可求得pq即|PF₁|•|PF₂|的值，利用等面積法可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．

解答 解：（1）由雙曲線漸近線方程可知$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$①
因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為（5，0），所以c=5②
又c²=a²+b²③
聯(lián)立①②③，解得a²=9，b²=16，
所以雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）令PF₁=p，PF₂=q，
由雙曲線定義：|p-q|=2a=6，
平方得：p²-2pq+q²=36，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，∠F₁PF₂=90°，由勾股定理得：p²+q²=|F₁F₂|²=100，
所以pq=32，
即|PF₁|•|PF₂|=32，
設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y，則$\frac{1}{2}×10×|y|$=$\frac{1}{2}×32$，∴y=±$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，考查雙曲線的定義，屬于中檔題．