Question

12．若C${\;}_{n}^{2}$=C${\;}_{n-1}^{2}$+C${\;}_{n-1}^{3}$（n∈N^*），則（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式的常數(shù)項為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求出n值，寫出二項展開式的通項，整理后由x的指數(shù)等于0求得r值，則答案可求．

解答 解：由C${\;}_{n}^{2}$=C${\;}_{n-1}^{2}$+C${\;}_{n-1}^{3}$，得$\frac{n!}{2!（n-2）!}=\frac{（n-1）!}{2!（n-3）!}+\frac{（n-1）!}{3!（n-4）!}$，解得：n=5．
（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式的通項為T_r+1=${C}_{5}^{r}（\root{3}{x}）^{5-r}（-\frac{1}{2\sqrt{x}}）^{r}$=$（-\frac{1}{2}）^{r}{C}_{5}^{r}{x}^{\frac{10-5r}{6}}$．
由10-5r=0，得r=2．
∴展開式的常數(shù)項為$（-\frac{1}{2}）^{2}{C}_{5}^{2}=\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記二項展開式的通項，是基礎(chǔ)題．