Question

設(shè)三棱錐P-ABC的頂點P在平面ABC上的射影是H（在△ABC內(nèi)部），給出以下說法：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC垂心；
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則H是△ABC垂心；
③若P到△ABC三邊距離等，則H為△ABC的內(nèi)心；
④若PA=PB=PC，則H是△ABC的外心．
其中正確說法的序號依次是

 

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Answer 1

考點：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)三角形垂心，外心，內(nèi)心的定義及棱錐的幾何特征，結(jié)合勾股定理，逐一判斷題目中四個命題的真假，可得答案．

解答： 解：①若PA⊥BC，PB⊥AC，因為PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正確．
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正確．
③P是△ABC所在平面外一點，若P到△ABC三邊的距離相等，E，F(xiàn)，D分別是點P在三個邊上的垂足，故可證得HE，HF，HD分別垂直于三邊且相等，由內(nèi)切圓的加心的定義知，此時點H是三角形的內(nèi)心，故正確
④若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，則H是△ABC的外心，正確．
故答案為：①②③④

點評：根據(jù)三角形垂心，外心，內(nèi)心的定義及棱錐的幾何特征，結(jié)合勾股定理，逐一判斷題目中四個命題的真假，可得答案．