Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[0，+∞），且對任意x∈[0，+∞），$\sqrt{x}$，$\frac{\sqrt{f（x）}}{2}$，$\sqrt{3}$都成等差數(shù)列，又正項數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項和S_n滿足S_n+1=f（Sn）（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若$\sqrt{_{n}}$是$\frac{3}{{a}_{n+1}}$，$\frac{3}{{a}_{n}}$的等比中項，求數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{x}$，$\frac{\sqrt{f（x）}}{2}$，$\sqrt{3}$都成等差數(shù)列，可得$\sqrt{f（x）}=\sqrt{x}+\sqrt{3}$，結(jié)合S_n+1=f（Sn），得到數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}構(gòu)成以$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{3}$為首項，以$\sqrt{3}$為公差的等差數(shù)列，求得${S}_{n}=3{n}^{2}$．得當(dāng)n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=3{n}^{2}-3（n-1）^{2}=6n-3$．驗證首項后得答案；
（2）$\sqrt{_{n}}$是$\frac{3}{{a}_{n+1}}$，$\frac{3}{{a}_{n}}$的等比中項，得則$_{n}=\frac{9}{{a}_{n+1}{a}_{n}}=\frac{9}{（6n+3）（6n-3）}=\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}$，然后利用裂項相消法求得數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

解答 解：（1）∵$\sqrt{x}$，$\frac{\sqrt{f（x）}}{2}$，$\sqrt{3}$成等差數(shù)列，∴$\sqrt{f（x）}=\sqrt{x}+\sqrt{3}$，
則f（x）=x+3+$2\sqrt{3x}$，
又正項數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項和S_n滿足S_n+1=f（Sn），
∴${S}_{n+1}={S}_{n}+3+2\sqrt{3}\sqrt{{S}_{n}}$=$（\sqrt{{S}_{n}}+\sqrt{3}）^{2}$，
即$\sqrt{{S}_{n+1}}=\sqrt{{S}_{n}}+\sqrt{3}$．
∴數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}構(gòu)成以$\sqrt{{S}_{1}}=\sqrt{3}$為首項，以$\sqrt{3}$為公差的等差數(shù)列，
則$\sqrt{{S}_{n}}=\sqrt{3}+（n-1）•\sqrt{3}=\sqrt{3}n$，
∴${S}_{n}=3{n}^{2}$．
當(dāng)n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=3{n}^{2}-3（n-1）^{2}=6n-3$．
a₁=3適合上式，
∴a_n=6n-3；
（2）若$\sqrt{_{n}}$是$\frac{3}{{a}_{n+1}}$，$\frac{3}{{a}_{n}}$的等比中項，
則$_{n}=\frac{9}{{a}_{n+1}{a}_{n}}=\frac{9}{（6n+3）（6n-3）}=\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．