Question

8．函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx+2（ab≠0，ω＞0）的周期為π，且f（x）的最大值為5，又f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 首先，利用輔助角公式將所給函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，然后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行建立等式求解．

解答 解：f（x）=asinωx+bcosωx+2
=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}sin（ωx+θ）+2$，
∵T=$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2，
∵f（x）的最大值為5，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=3$
∵f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+2，
∴asin$\frac{π}{3}$+bcos$\frac{π}{3}$+2=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+2，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴f（x）=$\frac{3}{2}sin2x+\frac{3\sqrt{3}}{2}cos2x+2$．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，輔助角公式等知識，屬于中檔題．