Question

13．在△ABC中，若BC=2，sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 對(duì)式子$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$兩邊平方便可得到$4={\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|cosA$，而由條件可求的cosA=$±\frac{1}{3}$，根據(jù)題意取cosA=$\frac{1}{3}$，將其代入上式，結(jié)合不等式a²+b²≥2ab即可求出$|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|$的最大值，從而得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$的最大值．

解答 解：如圖，
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$；
${\overrightarrow{BC}}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|cosA$；
∵$sinA=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴$cosA=±\frac{1}{3}$；
∵是求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$的最大值；
∴取cosA=$\frac{1}{3}$；
此時(shí)，4=${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{2}{3}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|$；
∴$4+\frac{2}{3}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|={\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}$$≥2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|$；
∴$|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|≤3$；
∴$cosA=\frac{1}{3}$時(shí)，$|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|$取最大值3，此時(shí)$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$取到最大值；
∴且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|cosA=1$；
即$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$的最大值為1．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查向量減法的幾何意義，數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，sin²α+cos²α=1，以及不等式a²+b²≥2ab用于求最值．