Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂+a₅=14，且對(duì)任意n∈N^*，函數(shù)f（x）=a_n+1x²-（a_n+2+a_n）x滿足f′（1）=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由條件可得2a_n+1=a_n+2+a_n，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得d=2，即可得到通項(xiàng)公式；
（2）由b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，由不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=a_n+1x²-（a_n+2+a_n）x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2a_n+1x-（a_n+2+a_n），
由f′（1）=0，可得2a_n+1=a_n+2+a_n，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則a₁=2，a₂+a₅=2a₁+5d=14，
解得d=2，
即有a_n=a₁+2（n-1）=2n．
（2）證明：b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
則S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$．
則S_n＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．