Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過點M（1，0）的直線1交橢圓C于A，B兩點，|MA|=λ|MB|，且當(dāng)直線l垂直于x軸時，|AB|=$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若λ∈[$\frac{1}{2}$，2]，求弦長|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先由離心率得到a，b的關(guān)系，再由求出b，再由直線l垂直于x軸時，|AB|=$\sqrt{2}$求得關(guān)于a，b的另一方程，聯(lián)立求得a，b的值，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（2）設(shè)AB的方程y=k（x-1），將直線的方程代入橢圓的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系，利用向量坐標(biāo)公式及函數(shù)的單調(diào)性即可求得直線AB的斜率的取值范圍，從而求得弦長|AB|的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可得，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，則a²=2b²，①
把x=1代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，得y=$±\frac{a}\sqrt{{a}^{2}-1}$，
則$\frac{2b}{a}\sqrt{{a}^{2}-1}=\sqrt{2}$，②
聯(lián)立①②得：a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）如圖，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l方程為y=k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）y²+2ky-k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，③
由|MA|=λ|MB|，得$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{MB}$，
∴（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），則-y₁=λy₂，④
把④代入③消去y₂得：$\frac{4}{1+2{k}^{2}}=λ+\frac{1}{λ}-2$，
當(dāng)λ∈[$\frac{1}{2}$，2]時，$\frac{4}{1+2{k}^{2}}=λ+\frac{1}{λ}-2$∈[0，$\frac{1}{2}$]．
解得：${k}^{2}≥\frac{7}{2}$．
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}}}\sqrt{\frac{4{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$
=$2\sqrt{2}\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$2\sqrt{2}（1-\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）=2\sqrt{2}（1-\frac{1}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}）$$∈（\sqrt{2}，\frac{9\sqrt{2}}{8}]$．
∴弦長|AB|的取值范圍為$[\sqrt{2}，\frac{9\sqrt{2}}{8}]$．

點評 本題主要考查了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題、平面向量的運算等．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，突出考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．