Question

1．已知點A（2，4），B（4，-1），C（1，y）．$\overrightarrow{BD}$=（-1，2）
（1）求D點坐標；
（2）若AC⊥BD．求y的值；
（3）求cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞．

Answer 1

分析 （1）設D（m，n），根據向量的坐標運算即可求出，
（2）根據向量垂直的條件即可求出，
（3）根據向量的夾角公式即可求出．

解答 解：（1）設D（m，n），
∵B（4，-1），$\overrightarrow{BD}$=（-1，2），
∴m-4=-1，n+1=2，
∴m=3，n=1，
∴D（3，1），
（2）∵A（2，4），B（4，-1），C（1，y），$\overrightarrow{BD}$=（-1，2）
∴$\overrightarrow{AC}$=（-1，y-4），
∵AC⊥BD，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=-1×（-1）+2（y-4）=0，
∴y=$\frac{7}{2}$，
（3）由（1）可知$\overrightarrow{AD}$=（1，-3），$\overrightarrow{AB}$=（2，-5），
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{10}$，$\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{29}$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$=1×2+（-3）×（-5）=17，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{17}{\sqrt{10}•\sqrt{29}}$=$\frac{17\sqrt{290}}{290}$．

點評 本題考查了向量的坐標運算和向量的數量積的運算以及向量垂直的條件，屬于基礎題．