已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.

(1)求動點M的軌跡C的方程;

(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點,若A是PB的中點,求直線m的斜率.


解:(1)設(shè)M到直線l的距離為d,

根據(jù)題意,d=2|MN|.

由此得|4-x|=2,

化簡得+=1,

所以,動點M的軌跡方程為+=1.

(2)法一　由題意,設(shè)直線m的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).

將y=kx+3代入+=1中,

有(3+4k2)x2+24kx+24=0,

其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0,

由求根公式得,

x1+x2=-,        ①

x1x2=.          ②

又因A是PB的中點,

故x2=2x1,③

將③代入①,②,得

x1=-,

=,

可得=,

且k2>,

解得k=-或k=,

所以,直線m的斜率為-或.

法二　由題意,設(shè)直線m的方程為y=kx+3,

A(x1,y1),B(x2,y2).

∵A是PB的中點,

∴x1=,①

y1=.②

又+=1,③

+=1.④

聯(lián)立①,②,③,④解得或

即點B的坐標(biāo)為(2,0)或(-2,0),

所以,直線m的斜率為-或.


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(A)   (B)   (C)   (D)

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(A)6    (B)3-    (C)9    (D)12-6

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(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

(3)若點M的橫坐標(biāo)為,直線l:y=kx+與拋物線C有兩個不同的交點A,B,l與圓Q有兩個不同的交點D,E,求當(dāng)≤k≤2時,|AB|2+|DE|2的最小值.

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