已知函數(shù)f（x）=2
x
+
5-x

（Ⅰ）求證：f（x）≤5，并說明等號成立的條件；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式,絕對值不等式
專題：選作題,不等式
分析：（Ⅰ）由柯西不等式可得（2
x
+
5-x
）2≤（22+12）[（
x
）2+（
5-x
）2]=25，即可得證；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，等價于|m-2|≥5，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答： （Ⅰ）證明：由柯西不等式可得（2
x
+
5-x
）2≤（22+12）[（
x
）2+（
5-x
）2]=25
∴f（x）=2
x
+
5-x
≤5，當(dāng)且僅當(dāng)
x
2
=
5-x
1
，即x=4時等號成立；
（Ⅱ）解：關(guān)于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，等價于|m-2|≥5，
∴m≥7或m≤-3．
點(diǎn)評：本題考查柯西不等式，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△ACB與△ADB是有公共斜邊AB的兩個等腰直角三角形，平面ACB⊥平面ADB，求異面直線AC與BD所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD中，|AB|=2
2
，|BC|=2．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，分別以HF，EG所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知
OR
=λ
OF
，
CR′
=λ
CF
，其中0＜λ＜1．
（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點(diǎn)M在橢圓Γ：
x2
2
+y2=1上；
（Ⅱ）若點(diǎn)N是直線l：y=x+2上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點(diǎn)，直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點(diǎn)分別為P、Q和S、T．是否存在點(diǎn)N，使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP+kOQ+kOS+kOT=0？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正方體的棱長為1，畫過正方體AC1棱AA1，B1C1，A1B1上三個中點(diǎn)N，L，R的截面，并求截面面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
a
3cos2θ+4sin2θ
，焦距為2，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）求證：函數(shù)f（x）=2x+2-x在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）=2x+2-x（x∈R）的值域；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=
4x+2x+k+1
4x+2x+1+1
，若對任意的實(shí)數(shù)x1，x2，x3，都有g(shù)（x1）+g（x2）≥g（x3），求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
.
1-1
13x
.
，則f-1（4）
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，
π
4
）關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若正三棱柱的內(nèi)切球的半徑為R，底面正三角形的邊長為a，則R=
 
．

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同步練習(xí)冊答案