Question

6．已知在數(shù)列{a_n}中，a_n=$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，求證：S_2n ＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 通過數(shù)學歸納法證明S_2n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$，放縮相加即得結(jié)論．

解答 證明：∵a_n=$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，
∴S_2n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$
=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$，
下面用數(shù)學歸納法來證明：
①當n=1時，命題顯然成立；
②假設當n=k（k≥2）時，有1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{k+k}$，
則1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$
=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{k+k}$+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$
=$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{k+k}$+$\frac{1}{2k+1}$+（$\frac{1}{k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$）
=$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{k+k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$，
即當n=k+1時命題也成立；
由①、②可知S_2n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$．
∴S_2n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$
≤$\frac{1}{\sqrt{2}n}$+$\frac{1}{\sqrt{2}n}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2}n}$
=n•$\frac{1}{\sqrt{2}n}$
=$\frac{1}{\sqrt{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)學歸納法，注意解題方法的積累，屬于難題．