Question

17．在△OAB中$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$分別為$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$上的單位向量，∠AOB=120°，|OA|=3，且（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥$\overrightarrow{AB}$．
（1）判斷△OAB的形狀；
（2）求S_△OAB．

Answer 1

分析 （1）由題意$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$表示∠AOB的平分線，根據(jù)（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥$\overrightarrow{AB}$．可得Rt△OAE≌Rt△BOE，從而可得OA=OB．
（2）利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$分別為$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$上的單位向量，
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$表示∠AOB的平分線，
∵（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）⊥$\overrightarrow{AB}$．
∴Rt△OAE≌Rt△BOE，
∴OA=OB，
∴△BOA是等腰三角形．
（2）S_△OAB=$\frac{1}{2}•$|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•sin∠AOB
=$\frac{1}{2}×3×3×sin120°$
=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的形狀判斷，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．