Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記T_n為數(shù)列{n+a_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=3S_n+1與a_n+2=3S_n+1+1作差、計算可知數(shù)列{a_n}是以1為首項、4為公比的等比數(shù)列，進而可得結(jié)論；
（2）通過（1）知n+a_n=n+4^n-1，進而利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=3S_n+1，
∴a_n+2=3S_n+1+1，
兩式相減得：a_n+2-a_n+1=3a_n+1，即a_n+2=4a_n+1，
又∵a₂=3a₁+1=4=4a₁滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項、4為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=4^n-1；
（2）由（1）知n+a_n=n+4^n-1，
∴T_n=（1+2+…+n）+（1+4+4²+…+4^n-1）
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1}{3}•$4ⁿ-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．