Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}(n∈N*)，對于A的一個子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，則稱S具有性質(zhì)P，
(1)當n=10時，試判斷集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}是否具有性質(zhì)P？并說明理由；
(2)當n=1 000時，
①若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性質(zhì)P？并說明理由；
②若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個數(shù)的最大值。

Answer 1

解：(1)當n=10時，集合A={1，2，3，…，19，20}，
B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性質(zhì)P．
因為對任意不大于10的正整數(shù)m，都可以找到該集合中兩個元素b₁=10與b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立。
集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}具有性質(zhì)P．
因為可取m=1＜10，對于該集合中任意一對元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N*，
都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1。
(2)當n=1000時，則A={1，2，3，…，1999，2 000}，
①若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性質(zhì)P．
首先因為T={2 001-x|x∈S}，任取t=2001-x₀∈T，其中x₀∈S，
因為SA，所以x₀∈{1，2，3，…，2 000}，
從而1≤2 001-x₀≤2000，即t∈A，所以TA．
由S具有性質(zhì)P，可知存在不大于1000的正整數(shù)m，
使得對S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，
對于上述正整數(shù)m，從集合T={2001-x|x∈S}中任取一對元素t₁=2001-x₁，t₂=2001-x₂，其中x₁，x₂∈S， 則有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|≠m，所以集合T= {200-x|x∈S}具有性質(zhì)P。
②設(shè)集合S有k個元素，由第①問知，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={2001-x|x∈S} 一定具有性質(zhì)P．
任給x∈S，1≤x≤2 000，則x與2001-x中必有一個不超過1 000，
所以集合S與T中必有一個集合中至少存在一半元素不超過1 000，
不妨設(shè)S中有個元素b₁，b₂，…，b_t不超過1 000，
由集合S具有性質(zhì)P，可知存在正整數(shù)m≤1000，使得對S中任意兩個元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，
所以一定有b₁+m，b₂+m，…，b_t+mS，
又b_i+m≤1 000 +1 000=2 000，故b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∈A，
即集合A中至少有t個元素不在子集S中，
因此，所以，得k≤1 333，
當S={1，2，…，665 ，666，1 334，…，1 999，2 000}時，
取m=667，則易知對集合S中任意兩個元素y₁，y₂，都有|y₁-y₂|≠667，即集合S具有性質(zhì)P，
而此時集合S中有1 333個元素，
因此集合S的元素個數(shù)的最大值是1 333。