Question

11．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁，D是棱AA₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）證明：DC₁⊥BC；
（2）若平面BDC₁分該棱柱為體積相等的兩個(gè)部分，試確定點(diǎn)D的位置，并求二面角A₁-BD-C₁的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，得CC₁⊥BC，結(jié)合BC⊥AC且AC、CC₁是平面ACC₁A₁內(nèi)的相交直線，可得BC⊥平面ACC₁A₁，進(jìn)而得到DC₁⊥BC；
（2）利用平面BDC₁分該棱柱為體積相等的兩個(gè)部分，可得D為AA₁中點(diǎn)，取A₁B₁的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H，連接C₁O，C₁H，確定∠C₁DO是二面角A₁-BD-C₁的平面角，再求二面角A₁-BD-C₁的大�。�

解答 （1）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC…（2分）
又∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC…（3分）
∵AC∩CC₁=C，AC、CC₁?平面ACC₁A₁
∴BC⊥平面ACC₁A₁
∵D₁C?平面ACC₁A₁，∴DC₁⊥BC；…（5分）
（2）解：∵${V}_{D-BC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，${V}_{D-BC{C}_{1}}$+V_D-ABC=$\frac{1}{2}$${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴V_D-ABC=$\frac{1}{6}$${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•AD$=$\frac{1}{6}{S}_{△ABC}•A{A}_{1}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AA₁
∴D為AA₁中點(diǎn)；
取A₁B₁的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H，連接C₁O，C₁H

∵A₁C₁=B₁C₁，∴C₁O⊥A₁B₁，
∵面A₁B₁C₁⊥面A₁BD，
∴C₁O⊥面A₁BD，
∵OH⊥BD，
∴C₁H⊥BD
∴點(diǎn)H與點(diǎn)D重合，且∠C₁DO是二面角A₁-BD-C₁的平面角．         
設(shè)AC=a，則C₁O=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∵${C}_{1}D=\sqrt{2}a$=2C₁O，
∴∠C₁DO=30°，得二面角的大小為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題在特殊的三棱柱中證明兩條直線互相垂直，并求二面角的值，著重考查了空間垂直位置關(guān)系的證明和二面角平面角的求法等知識(shí)，屬于中檔題．