Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一個焦點(diǎn)與拋物線y²=-4x的交點(diǎn)相同，且橢圓C上一點(diǎn)與橢圓C的左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成三角形的周長為2$\sqrt{2}$+2，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 由拋物線y²=-4x和條件求出左焦點(diǎn)F₁的坐標(biāo)，再由橢圓的定義和條件求出a的值，根據(jù)a、b、c的關(guān)系求出b²，代入橢圓方程即可．

解答 解：因?yàn)閽佄锞�y²=-4x的焦點(diǎn)是（-1，0），
所以橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F₁（-1，0），則c=1，
因?yàn)闄E圓C上一點(diǎn)與F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成三角形的周長為2$\sqrt{2}$+2，
所以由橢圓的定義可得，2a+2c=2$\sqrt{2}$+2，解得a=$\sqrt{2}$，
則b²=a²-c²=1，
所以橢圓C的方程是：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，以及橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．