Question

16．如圖所示，∠PAQ是某海灣旅游區(qū)的一角，其中∠PAQ=120°，為了營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委員會決定在直線海岸AP和AQ上分別修建觀光長廊AB和AC，其中AB是寬長廊，造價是800元/米；AC是窄長廊，造價是400元/米；兩段長廊的總造價為120萬元，同時在線段BC上靠近點B的三等分點D處建一個觀光平臺，并建水上直線通道AD（平臺大小忽略不計），水上通道的造價是1000元/米．
（1）若規(guī)劃在三角形ABC區(qū)域內(nèi)開發(fā)水上游樂項目，要求△ABC的面積最大，那么AB和AC的長度分別為多少米？
（2）在（1）的條件下，建直線通道AD還需要多少錢？

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB=xm，AC=ym，則800x+400y=1200000，即2x+y=3000，表示面積，利用基本不等式，可得結(jié)論；
（2）利用向量方法，求出AD，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)AB=xm，AC=ym，則800x+400y=1200000，即2x+y=3000，
S_△ABC=$\frac{1}{2}xysin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}xy$=$\frac{\sqrt{3}}{8}•2x•y≤\frac{\sqrt{3}}{8}•（\frac{2x+y}{2}）^{2}$=281250$\sqrt{3}$m³，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=y，即x=750m，y=1500m時等號成立，
∴△ABC的面積最大，那么AB和AC的長度分別為750米和1500米；
（2）在（1）的條件下，$\overline{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{4}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{1}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=250000，
∴|$\overrightarrow{AD}$|=500，
∴1000×500=500000元，即建直線通道AD還需要50萬元．

點評 本題考查三角形中面積的求法，考查向量知識的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．