Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+2n （n∈N^*）．?dāng)?shù)列{b_n}滿足：b₁=1，b_n=abn-1 （n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若c_n=a_n（b_n+1），求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，利用S_n=n²+2n （n∈N^*），能求出a_n=2n+1．
（2）依題意知n≥2時(shí)，b_n=abn-1=2b_n-1+1，從而{b_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此能求出b_n=2ⁿ-1．
（3）由c_n=a_n（b_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

解答： 解：（1）∵S_n=n²+2n （n∈N^*），
∴n=1時(shí)，a₁=S₁=3，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²-2（n-1）]=2n+1，
當(dāng)n=1時(shí)也適合此式，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2n+1．…2分
（2）依題意知n≥2時(shí)，b_n=abn-1=2b_n-1+1，
∴b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2≠0，…4分
∴{b_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴bn+1=2•2n-1=2n，∴b_n=2ⁿ-1．…5分
（3）由（1）（2）知：c_n=a_n（b_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，…6分
∴T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，…7分
2Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1，
∴-T_n=3•2+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹…8分
=2+2（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+2×

(1-2n)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-2+（1-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…10分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．