Question

11．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB=2，BC=CD=1，AB∥CD，頂點D₁在底面ABCD內的射影恰為點C．
（Ⅰ）求證：AD₁⊥BC；
（Ⅱ）在AB上是否存在點M，使得C₁M∥平面ADD₁A₁？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：連接D₁C，可證D₁C⊥BC，在等腰梯形ABCD中，連接AC，可證BC⊥AC，BC⊥平面AD₁C，即可證明AD₁⊥BC． 
（Ⅱ）設M是AB上的點，可證AM∥D₁C₁，如果C₁M∥平面ADD₁A₁，則C₁M∥AD₁，可證D₁C₁=DC=AM=$\frac{1}{2}$AB，即點M為AB的中點，從而得解．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）證明：連接D₁C，則D₁C?平面ABCD，
∴D₁C⊥BC，
在等腰梯形ABCD中，連接AC，由C向AB引垂線，垂足為E，
∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD，
∴可求EB=$\frac{1}{2}$，CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AC=$\sqrt{3}$，
∴由勾股定理可得：BC⊥AC，
∴BC⊥平面AD₁C，
∴AD₁⊥BC．   …（6分）
（Ⅱ）設M是AB上的點，
∵AB∥CD，
∴AM∥D₁C₁，
因經過AM、D₁C₁的平面與平面ADD₁A₁相交與AD₁，要是C1M∥平面ADD₁A₁，則C₁M∥AD₁，
即四邊形AD₁C₁M為平行四邊形，此時D₁C₁=DC=AM=$\frac{1}{2}$AB，即點M為AB的中點．
所以在AB上存在點M，使得C1M∥平面ADD₁A₁，此時點M為AB的中點．…（12分）

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，空間中直線與直線之間的位置關系，考查了空間想象能力和推論論證能力，考查了轉化思想，屬于中檔題．