Question

2．直角坐標(biāo)系下，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．
（1）在橫坐標(biāo)系下，曲線(xiàn)C與射線(xiàn)θ=$\frac{π}{4}$和射線(xiàn)θ=-$\frac{π}{4}$分別交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積；
（2）在直角坐標(biāo)系下，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=6\sqrt{2-2t}}\\{y=t-\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），求曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先把直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用直線(xiàn)的方程求出|OA|和|OB|的長(zhǎng)，最后求出三角形的面積．
（2）利用直線(xiàn)和曲線(xiàn)的關(guān)系建立方程組，直接利用參數(shù)求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）曲線(xiàn)C在直角坐標(biāo)系下的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為：$\frac{{ρ}^{2}{cos}^{2}θ}{16}+\frac{{ρ}^{2}{sin}^{2}θ}{4}=1$，
分別代入$θ=\frac{π}{4}$和$θ=-\frac{π}{4}$，
得：$|OA{|}^{2}=|OB{|}^{2}=\frac{32}{5}$，
因?yàn)?∠AOB=\frac{π}{2}$，故△AOB的面積：$S=\frac{1}{2}\left|OA\right|\left|OB\right|=\frac{16}{5}$．
（2）將l的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C的普通方程，得：$（t-2\sqrt{2}）^{2}=0$，

即t=2$\sqrt{2}$，代入l的參數(shù)方程，得：$x=2\sqrt{2}$，y=2，

所以曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l的交點(diǎn)坐標(biāo)為$（2\sqrt{2}，2）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，三角形面積的應(yīng)用，利用代入法求直線(xiàn)與曲線(xiàn)的關(guān)系，求交點(diǎn)的坐標(biāo)．主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．