Question

16．已知直線Ax+By+C=0（A²+B²=C²）與圓x²+y²=4交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$等于（　�。�

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 可以想著聯(lián)立直線方程和圓的方程，將M，N點(diǎn)的坐標(biāo)求出，所以需討論A或B是否為0，這里可討論A是否為0：A=0時(shí)，求出y，帶入圓的方程，解出x，從而得出M，N的坐標(biāo)，然后進(jìn)行數(shù)量積的計(jì)算即可；A≠0時(shí)，可由直線方程求出x并帶入圓的方程，會(huì)得到關(guān)于y的一元二次方程，解方程即得y，從而得到點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，同樣進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．

解答 解：（1）若A=0，B=±C，帶入直線方程得：
y=±1，帶入圓的方程得，x=±$\sqrt{3}$；
∴M（$-\sqrt{3}$，1），N（$\sqrt{3}$，1），或M（$-\sqrt{3}$，-1），N（$-\sqrt{3}$，-1）；
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2$；
（2）若A≠0，由直線方程得：
$x=-\frac{B}{A}y-\frac{C}{A}$，帶入圓的方程并整理得：
（A²+B²）y²+2BCy+C²-4A²=0；
將A²+B²=C²帶入上面方程得，C²y²+2BCy+C²-4A²=0；
解得，$y=\frac{-B±\sqrt{3}A}{C}$；
∴y=$\frac{-B-\sqrt{3}A}{C}$時(shí)，x=$\frac{\sqrt{3}B-A}{C}$；y=$\frac{-B+\sqrt{3}A}{C}$時(shí)，x=$\frac{-\sqrt{3}B-A}{C}$；
∴$M（\frac{\sqrt{3}B-A}{C}，\frac{-B-\sqrt{3}A}{C}）$，N（$\frac{-\sqrt{3}B-A}{C}，\frac{-B+\sqrt{3}A}{C}$）；
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\frac{{A}^{2}-3{B}^{2}}{{C}^{2}}+\frac{{B}^{2}-3{A}^{2}}{{C}^{2}}$=$\frac{（{A}^{2}+{B}^{2}）-3（{A}^{2}+{B}^{2}）}{{C}^{2}}$=-2；
綜上得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2$．
故選A．

點(diǎn)評 考查聯(lián)立直線方程和圓的方程求直線和圓交點(diǎn)的方法，不要漏了A=0的情況，一元二次方程的求根公式，以及點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)的關(guān)系，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．