Question

13．已知函數(shù)$f（x）={log_a}\frac{2-x}{2+x}$（a＞0，且a≠1），且f（-1）=1，
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的定義域；
（3）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件f（-1）=1，即可求a的值；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．

解答 解：（1）由f（-1）=log_a3=1，得a=3；…（4分）．
（2）由$f（x）={log_3}\frac{2-x}{2+x}$有$\frac{2-x}{2+x}＞0$，解得-2＜x＜2，
則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2，2）…（4分）．；
（3）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2，2）且$f（-x）={log_3}\frac{2+x}{2-x}={log_3}{（{\frac{2-x}{2+x}}）^{-1}}=-{log_3}\frac{2-x}{2+x}=-f（x）$
則函數(shù)f（x）為（-2，2）上的奇函數(shù)．…（4分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)定義域的求解，函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．