Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+a|，（a≠0），$g（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+x，（{x＞0}）\\{x^2}+x，（{x≤0}）\end{array}\right.$則f（x），g（x）的奇偶性依次為（　　）

• A． 偶函數(shù)，奇函數(shù)
• B． 奇函數(shù)，偶函數(shù)
• C． 偶函數(shù)，偶函數(shù)
• D． 奇函數(shù)，奇函數(shù)

Answer 1

分析 直接運用奇偶性的定義判斷f（x）的奇偶性，在用分類討論的辦法確定g（x）的奇偶性，進(jìn)而得到結(jié)果．

解答 解：先考察f（x）=|x-a|+|x+a|，
f（-x）=|-x-a|+|-x+a|=|x+a|+|x-a|=f（x），
即f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)；
再考察$g（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+x，（{x＞0}）\\{x^2}+x，（{x≤0}）\end{array}\right.$，
①當(dāng)x＞0時，g（x）=-x²+x，
所以-x＜0，g（-x）=（-x）²+（-x）=x²-x=-（-x²+x）=-g（x），
②當(dāng)x＜0時，也滿足g（-x）=-g（x），
且g（0）=0，所以，g（x）為R上的奇函數(shù)，
即f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，
故答案為：A．

點評 本題主要考查了運用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，涉及絕對值函數(shù)和分段函數(shù)奇偶性的判斷，屬于中檔題．