Question

19．已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²+2ρ（sinθ-cosθ）=2，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=4+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為傾斜角）．
（1）若圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線l的斜率；
（2）若直線l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²+2ρ（sinθ-cosθ）=2，化為（x-1）²+（y+1）²=4，可得圓心C（1，-1），半徑r=2．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=4+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為傾斜角）化為y-4=（x-3）tanα，直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（3，4）．由于圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，因此直線l經(jīng)過(guò)圓心C，利用斜率計(jì)算公式即可得出．
（2）設(shè)y-4=k（x-3），由于直線l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，必須滿足圓心C到直線l的距離d=$\frac{|k+1+4-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，解出即可．

解答 解：（1）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²+2ρ（sinθ-cosθ）=2，化為x²+y²+2y-2x=2，配方為（x-1）²+（y+1）²=4，可得圓心C（1，-1），半徑r=2．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=4+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為傾斜角）化為y-4=（x-3）tanα，直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（3，4）．
∵圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴直線l經(jīng)過(guò)圓心C，
∴k_l=k_CM=$\frac{4-（-1）}{3-1}$=$\frac{5}{2}$．
∴直線l的斜率為$\frac{5}{2}$．
（2）設(shè)y-4=k（x-3），即kx-y+4-3k=0．
∵直線l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{|k+1+4-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，
解得k＞$\frac{21}{20}$．
∴直線l的斜率的取值范圍是$（\frac{21}{20}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．