Question

9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c已知cos（A+C）=-$\frac{1}{2}$，且2b²=3c²．
（1）求∠A的大��；
（2）設函數f（x）=1+cos（2x+B）-cos2x，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）已知第一個等式利用誘導公式化簡求出cosB的值，確定出B的度數，進而求出sinB的值，第二個等式利用正弦定理化簡，把sinB的值代入求出sinC的值，確定出C的度數，進而求出A的度數；
（2）把B的度數代入f（x）解析式，利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，利用正弦函數的單調性求出遞增區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵cos（A+C）=-cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
把2b²=3c²，利用正弦定理化簡得：2sin²B=3sin²C，即sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴C=$\frac{π}{4}$，
則A=$\frac{5π}{12}$；
（2）f（x）=1+cos（2x+$\frac{π}{3}$）-cos2x=1+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x=1-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=1-cos（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，得到kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
則f（x）的遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．．

點評 此題考查了正弦定理，余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的單調性，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．