【題目】已知函數(shù)，曲線在原點(diǎn)處的切線為.

（1）證明：曲線與軸正半軸有交點(diǎn)；

（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線為直線，求證：曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；

（3）若關(guān)于的方程（為正實(shí)數(shù)）有不等實(shí)根，求證：.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】分析：（1）求得，由，解得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果；（2）曲線在點(diǎn)處的切線，令，可證明對任意實(shí)數(shù)都有，即對任意實(shí)數(shù)都有，從而可得結(jié)論；（3）因?yàn)?/span>，所以為減函數(shù)，設(shè)方程的根為，由（2）可知，所以，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，可得，從而可得結(jié)論.

詳解：（1）求得，由已知得：，解得，

即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，存在，

使得，即曲線與軸正半軸有交點(diǎn)；

（2）曲線在點(diǎn)處的切線，令，則，又，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以對任意實(shí)數(shù)都有，即對任意實(shí)數(shù)都有，

故曲線上的點(diǎn)都不在直線的上方；

（3）因?yàn)?/span>，所以為減函數(shù)，設(shè)方程的根為，由（2）可知，

所以，

記，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，對任意的實(shí)數(shù)，都有，即，

設(shè)方程的根，則，所以，

于是，令，又，則，所以在上為增函數(shù)，又，所以，，所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）若 =12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a∈R，i是虛數(shù)單位，命題p：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1=a+ 對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限；命題q：復(fù)數(shù)z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命題，則實(shí)數(shù)a的值等于（ ）
A.﹣1或1
B. 或
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場銷售某種品牌的空調(diào)器，每周周初購進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào)器，商場每銷售一臺空調(diào)器可獲利500元，若供大于求，則每臺多余的空調(diào)器需交保管費(fèi)100元；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每臺空調(diào)器僅獲利潤200元． （Ⅰ）若該商場周初購進(jìn)20臺空調(diào)器，求當(dāng)周的利潤（單位：元）關(guān)于當(dāng)周需求量n（單位：臺，n∈N）的函數(shù)解析式f（n）；
（Ⅱ）該商場記錄了去年夏天（共10周）空調(diào)器需求量n（單位：臺），整理得表：

周需求量n

18

19

20

21

22

頻數(shù)

1

2

3

3

1

以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，若商場周初購進(jìn)20臺空調(diào)器，X表示當(dāng)周的利潤（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與一定范圍內(nèi)的溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表：

溫度

21

23

24

27

29

32

產(chǎn)卵數(shù)/個(gè)

6

11

20

27

57

77

（1）若用線性回歸模型，求關(guān)于的回歸方程（精確到0.1）；

（2）若用非線性回歸模型求關(guān)的回歸方程為，且相關(guān)指數(shù)

①試與（1）中的線性回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好.

②用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為時(shí)該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

附：一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為；相關(guān)指數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某輪胎集團(tuán)有限公司生產(chǎn)的輪胎的寬度 (單位: )服從正態(tài)分布,公司規(guī)定:輪胎寬度不在內(nèi)將被退回生產(chǎn)部重新生產(chǎn).

(1)求此輪胎不被退回的概率(結(jié)果精確到)；

(2)現(xiàn)在該公司有一批輪胎需要進(jìn)行初步質(zhì)檢,檢驗(yàn)方案是從這批輪胎中任取件作檢驗(yàn),這件產(chǎn)品中至少有件不被退回生產(chǎn)部,則稱這批輪胎初步質(zhì)檢合格.

()求這批輪胎初步質(zhì)檢合格的概率;

()若質(zhì)檢部連續(xù)質(zhì)檢了批輪胎,記為這批輪胎中初步質(zhì)檢合格的批數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.

附:若,則 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知： =（﹣ sinωx，cosωx）， =（cosωx，cosωx），ω＞0，記函數(shù)f（x）= ，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義為：若兩條平行直線和圓有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱兩條平行線和圓“相交”；若兩平行直線和圓沒有公共點(diǎn)，則稱兩條平行線和圓“相離”；若兩平行直線和圓有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱兩條平行線和圓“相切”．已知直線，,和圓：相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. 或B. 或

C. 或D. 或

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)），以為極點(diǎn)， 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求曲線的普通方程；

（2）極坐標(biāo)方程為的直線與交 ， 兩點(diǎn)，求線段的長．

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