Question

15．已知點(diǎn)P為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為x軸上的動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)F（1，0）為定點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{PN}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡E的方程．
（Ⅱ）A，B是E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，l為AB的中垂線，求當(dāng)l的斜率為2時(shí)，l在y軸上的截距m的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知條件$\overrightarrow{PN}$可知P為MN的中點(diǎn)，由題意設(shè)出P和M的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{PM}$和$\overrightarrow{PF}$的坐標(biāo)，代入$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$可求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l方程為y=2x+m，則AB的方程為：$y=-\frac{1}{2}x+b$，直線與圓錐曲線聯(lián)立求得中點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求出答案．

解答 解：：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），P（0，b）M（a，0）則$\overrightarrow{PN}=（x，y-b），\overrightarrow{NM}=（a-x，-y）$，
$\overrightarrow{PM}=（a，-b），\overrightarrow{PF}=（1，-b）$，由$\overrightarrow{PN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}=0$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}（a-x）=0}\\{y-b-\frac{1}{2}y=0}\\{a+^{2}=0}\end{array}\right.$，
∴y²=4x；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l方程為y=2x+m，則AB的方程為：$y=-\frac{1}{2}x+b$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=-\frac{1}{2}x+b}\end{array}\right.$可得：x²-4（b+4）x+4b²=0，△=16（b+4）²-16b²＞0，∴b＞-2，
x₁+x₂=4（b+4），∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2b+8，-4），-4=4b+16+m
∴m=-4b-20，故：m∈（-∞，-12）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系問題是考查的中點(diǎn)，常和弦長(zhǎng)問題、存在性問題結(jié)合考查，解答時(shí)往往采用“設(shè)而不求”的解題方法，借助于一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，該種類型的問題計(jì)算量較大，要求學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，是難題．