Question

13．設(shè)f（x）=lnx+ae^x，g（x）=x³-x²-3．
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間及在x=2處的切線方程l；
（2）若對任意的x∈（$\frac{1}{2}$，2），函數(shù)y=f（x）的圖象都在直線l的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出g（x）的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；
（2）由于y=8x-15，在x∈（$\frac{1}{2}$，2）單調(diào)遞增，故函數(shù)y=f（x）的圖象都在直線l的下方，轉(zhuǎn)化為lnx+ae^x＜-11，在x∈（$\frac{1}{2}$，2）恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）∵g（x）=x³-x²-3，
∴g′（x）=3x²-2x，
令g′（x）=3x²-2x=0解得x=0，或x=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即x＜0，或x＞$\frac{2}{3}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即0＜x＜$\frac{2}{3}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)g（x）在（-∞，0），或（$\frac{2}{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，$\frac{2}{3}$）上單調(diào)遞減，
∴g′（2）=3×4-2×2=8，g（2）=8-4-3=1，
∴在x=2處的切線方程l為y-1=8（x-2），即y=8x-15，即8x-y-15=0；
（2）∵對任意的x∈（$\frac{1}{2}$，2），函數(shù)y=f（x）的圖象都在直線l的下方，
∵y=8x-15，在x∈（$\frac{1}{2}$，2）單調(diào)遞增，
∴y_min=8×$\frac{1}{2}$-15=-11，
∴l(xiāng)nx+ae^x＜-11，在x∈（$\frac{1}{2}$，2）恒成立，
∴a＜-$\frac{11+lnx}{{e}^{x}}$，
設(shè)h（x）=-$\frac{11+lnx}{{e}^{x}}$，
∴h′（x）=$\frac{x（11+lnx）-1}{{e}^{x}}$，
令m（x）=11x+xlnx-1，
∴m′（x）=11+lnx＞0，在x∈（$\frac{1}{2}$，2）恒成立，
∴m（x）＞m（$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{2}$+$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$-1=$\frac{1}{2}$（9-ln2）＞0，
∴h（x）在（$\frac{1}{2}$，2）單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{11-ln2}{\sqrt{e}}$=$\frac{ln2-11}{\sqrt{e}}$，
∴a≤$\frac{ln2-11}{\sqrt{e}}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．