Question

9．已知圓心在x軸上的圓C過點(diǎn)（0，0）和（-1，1），圓D的方程為（x-4）²+y²=4
（1）求圓C的方程；
（2）由圓D上的動(dòng)點(diǎn)P向圓C作兩條切線分別交y軸于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出A（0，0）和B（-1，1）的垂直平分線方程，得到其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即圓C的圓心坐標(biāo)，進(jìn)一步求得半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得答案；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出切線方程，得到切線在y軸上的截距，利用換元法和配方法求得|AB|的取值范圍．

解答 解：（1）過兩點(diǎn)A（0，0）和B（-1，1）的直線的斜率為-1，
則線段AB的中垂線方程為：$y-\frac{1}{2}=1×（x+\frac{1}{2}）$，整理得：y=x+1．
取y=0，得x=-1．
∴圓C的圓心坐標(biāo)為（-1，0），半徑為1，
∴圓C的方程為：（x+1）²+y²=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），A（0，a），B（0，b），
則直線PA方程為$\frac{y-a}{{y}_{0}-a}=\frac{x}{{x}_{0}}$，整理得：（y₀-a）x-x₀y+ax₀=0．
∵直線PA與圓C相切，可得$\frac{|a-{y}_{0}+a{x}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-a）^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}=1$，化簡得$（{x}_{0}+2）{a}^{2}-2{y}_{0}a-{x}_{0}=0$；
同理可得PB方程$（{x}_{0}+2）^{2}-2{y}_{0}b-{x}_{0}=0$，
因而a，b為$（{x}_{0}+2）{x}^{2}-2{y}_{0}x-{x}_{0}=0$的兩根，
∴丨AB丨=|a-b|=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$$\sqrt{（\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）^{2}+\frac{4{x}_{0}}{{x}_{0}+2}}=2\sqrt{2}•\sqrt{\frac{5{x}_{0}-6}{（{x}_{0}+2）^{2}}}$，
令t=x₀+2∈[4，8]，則$|AB|=2\sqrt{2}•\sqrt{-\frac{16}{{t}^{2}}+\frac{5}{t}}$，配方可求得$|AB{|}_{min}=\sqrt{2}$，$|AB{|}_{max}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：[$\sqrt{2}，\frac{5\sqrt{2}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、化歸等思想方法，是中檔題．