Question

3．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點，P是以F₁F為直徑的圓與該橢圓的一個交點，且∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，則這個橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• D． $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)題意和圓的性質(zhì)可判斷出△F₁PF₂為直角三角形，根據(jù)∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，推斷出∠PF₁F₂=60°，進而可求得PF₁和PF₂，進而利用橢圓的定義求得a和c的關(guān)系，即可求橢圓的離心率．

解答 解：∵P是以F₁F₂為直徑的圓與該橢圓的一個交點，
∴△PF₁F₂為直角三角形，且∠P=90°，
∵∠PF₁F₂=2∠PF₂F₁，
∴∠PF₁F₂=60°，F(xiàn)₁F₂=2c，
∴PF₁=c，PF₂=$\sqrt{3}$c，
由橢圓的定義知，PF₁+PF₂=c+$\sqrt{3}$c=2a，
即$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1
∴離心率為$\sqrt{3}$-1．
故選：A

點評 本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)．橢圓的離心率是橢圓基本知識中重要的內(nèi)容，求離心率的關(guān)鍵是通過挖掘題設(shè)信息求得a和c的關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義是解決本題的關(guān)鍵．