Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的上、下焦點，過點F₂作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，若△ABF₁的周長為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P是y軸上一點，以PA，PB為鄰邊作平行四邊形PAQB，若點P的坐標(biāo)為（0，-2），求平行四邊形PAQB對角線PQ的長度的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由△ABF₁的周長為4$\sqrt{2}$，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-1，代入橢圓方程，得（2+k²）x²-2kx-1=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長公式、換元法，結(jié)合已知條件能求出平行四邊形PAQB對角線PQ的長度的取值范圍．

解答 解：（1）∵△ABF₁的周長為4$\sqrt{2}$，∴4a=4$\sqrt{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴c=1，∴b=$\sqrt{2-1}$=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點E（x₀，y₀），
當(dāng)直線斜率不存在時不成立，
∴設(shè)直線l的方程為y=kx-1，①
將①代入橢圓方程${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，整理得：（2+k²）x²-2kx-1=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2k}{2+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-1}{2+{k}^{2}}$，
${x}_{0}=\frac{k}{2+{k}^{2}}$，${y}_{0}=k•{x}_{0}-1=\frac{-2}{2+{k}^{2}}$，
|PE|=$\sqrt{（{x}_{0}-0）^{2}+（{y}_{0}+2）^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{k}{2+{k}^{2}}）^{2}+（2-\frac{2}{2+{k}^{2}}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}+\frac{4（1+{k}^{2}）^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}}$，
令t=2+k²，則t∈[2，+∞），∴$\frac{1}{t}$∈（0，$\frac{1}{2}$]，
∴|PE|=$\sqrt{\frac{t-2+4（t-1）^{2}}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4{t}^{2}-7t+2}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2}{{t}^{2}}-\frac{7}{t}+4}$=$\sqrt{2（\frac{1}{t}-\frac{7}{4}）^{2}-\frac{17}{8}}$∈[1，2）．
∴平行四邊形PAQB對角線PQ的長度的取值范圍是[1，2）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查平行四邊形對角線的長度的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長公式、換元法、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．