Question

19．已知直線L：y=x+b與圓O：x²+y²=4相交于A、B兩點，且△AOB的面積等于$\sqrt{3}$，則常數(shù)b的值為±$\sqrt{6}$或±$\sqrt{2}$．．

Answer 1

分析 由條件求得∠AOB的值，再利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得弦心距d的值，再利用點到直線的距離公式求得b的值．

解答 解：∵直線L：y=x+b與圓O：x²+y²=4相交于A、B兩點，且△AOB的面積等于$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•AO•BO•sin∠AOB=$\frac{1}{2}$•2•2•sin∠AOB=$\sqrt{3}$，∴sin∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠AOB=$\frac{π}{3}$或∠AOB=$\frac{2π}{3}$，
設(shè)弦心距為d，當(dāng)∠AOB=$\frac{π}{3}$時，d=2•cos$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，由$\frac{|0-0+b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，得b=±$\sqrt{6}$．
當(dāng)∠AOB=$\frac{2π}{3}$時，d=2•cos$\frac{π}{3}$=1，由$\frac{|0-0+b|}{\sqrt{2}}$=1，得b=±$\sqrt{2}$，
故答案為：±$\sqrt{6}$或±$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．