Question

在圓x²+y²=4上有一定點A（2，0）和兩個動點B、C，使∠BAC=60°恒成立，則三角形的重心H的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：由∠BAC=60°恒成立，可知弦AB到圓心的距離是定值r=1，因此BC中點T的軌跡方程是x²+y²=1，再結(jié)合重心的性質(zhì)，AG=

2

3

AT，則G的軌跡方程可求．

解答： 解：因為圓周角∠BAC=60°恒成立，則BC所對的圓心角為120°，
結(jié)合垂徑定理的性質(zhì)，可知弦心距（即弦的中點T到圓心的距離）為Rcos60°=2×

1

2

=1，
故T的軌跡方程為x²+y²=1，
又G是重心，所以AG=

2

3

AT，設(shè)T坐標是（a，b），G（x，y）
則有

x-2= 2 3 (a-2) y= 2 3 b

，即

a= 3 2 x-1 b= 3 2 y

，（1）又T（a，b）滿足a²+b²=1，
將（1）代入得(x-

2

3

)2+y2=

4

9

．
所以所求軌跡方程為(x-

2

3

)2+y2=

4

9

．
故答案為：(x-

2

3

)2+y2=

4

9

．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，一般是先重點分析所求點或與之相關(guān)聯(lián)的點滿足的幾何性質(zhì)，如本題是重心G，而與之相聯(lián)系的邊的中點T根據(jù)已知容易求出軌跡方程，由此使問題找到了切入點．