Question

10．三角形的面積為S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，a，b，c為三邊的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓半徑，利用類比推理可得出四面體的體積為（　�。�

• A． V=$\frac{1}{3}$abc （a，b，c為底邊邊長(zhǎng)）
• B． V=$\frac{1}{3}$Sh（S為地面面積，h為四面體的高）
• C． V=$\frac{1}{3}$（ab+bc+ac）h（a，b，c為底邊邊長(zhǎng)，h為四面體的高）
• D． V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）r（其中S₁，S₂，S₃，S₄分別為四面體四個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑）

Answer 1

分析 根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線類比直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．

解答 解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是r，
根據(jù)三角形的面積的求解方法：分割法，將O與四頂點(diǎn)連起來，可得四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和，
∴V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）r，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）．