Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若雙曲線右支上存在點P使得

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

，則該雙曲線離心率的取值范圍為（　�。�

• A、（0，

  2

  -1）
• B、（

  2

  -1，1）
• C、（1，

  2

  +1）
• D、（

  2

  +1，+∞）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：△PF₁F₂中，由正弦定理得

|PF1|

sin∠PF2F1

=

|PF2|

sin∠PF1F2

，再由已知得

|PF1|

|PF2|

=

c

a

，根據(jù)P在雙曲線右支上，得關(guān)于e的不等式，從而求出e的范圍．

解答： 解：由題意，點P不是雙曲線的頂點，否則

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

無意義；
在△PF₁F₂中，由正弦定理得

|PF1|

sin∠PF2F1

=

|PF2|

sin∠PF1F2

；
又

a

sin∠PF1F2

=

c

sin∠PF2F1

，∴

|PF1|

|PF2|

=

c

a

，
即|PF₁|=

c

a

•|PF₂|；
∵P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，得
|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴

c

a

•|PF₂|-|PF₂|=2a，即|PF₂|=

2a2

c-a

；
由雙曲線的幾何性質(zhì)，知
|PF₂|＞c-a，
∴

2a2

c-a

＞c-a，
即c²-2ac-a²＜0；
∴e²-2e-1＜0，
解得-

2

+1＜e＜

2

+1；
又e＞1，
∴雙曲線離心率的范圍是（1，

2

+1）．
故選：C．

點評：本題考查了求雙曲線的離心率的范圍的問題，也考查了雙曲線的定義與簡單性質(zhì)的靈活運用問題，是中檔題．