Question

4．函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-{x}^{4}}}{|x-2|-2}$．給出函數(shù)f（x）下列性質(zhì)：
（1）函數(shù)的定義域和值域均為[-1，1]；
（2）函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；
（3）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；
（4）A、B為函數(shù)f（x）圖象上任意不同兩點，則$\sqrt{2}$＜|AB|≤2．
請寫出所有關(guān)于函數(shù)f（x）性質(zhì)正確描述的序號（2）．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x），畫出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合圖象，對選項中的命題進行分析判斷即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-{x}^{4}}}{|x-2|-2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{-x}^{4}≥0}\\{|x-2|-2≠0}\end{array}\right.$，
解得-1≤x≤1且x≠0，
∴函數(shù)f（x）的定義域為[-1，0）∪（0，1]，（1）錯誤；
∵f（x）=$\frac{\sqrt{{x}^{2}{-x}^{4}}}{|x-2|-2}$=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1{-x}^{2}}，-1≤x＜0}\\{-\sqrt{1{-x}^{2}}，0＜x≤1}\end{array}\right.$
作出函數(shù)f（x）圖象，如圖所示；
由圖象知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點成中心對稱，（2）正確；
由圖象知函數(shù)f（x）在[-1，0）上為單調(diào)增函數(shù)，在（0，1]上也是單調(diào)增函數(shù)，
但在定義域[-1，0）∪（0，1]上不是增函數(shù)，
如-1＜1，但f（-1）=f（1）=0，故（3）錯誤；
由圖象知圖象為兩個四分之一個圓弧構(gòu)成，且半徑為1，
最大為AB連線且過原點，最大值為2，最小為AB是0，但取不到，即0＜|AB|≤2，故（4）錯誤．
綜上，正確的命題是（2）．
故答案為：（2）．

點評 本題考查了分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的定義域和值域的應(yīng)用問題，是綜合性題目．