Question

3．已知函數(shù)$f（x）=ln\frac{1+x}{1-x}+sinx$，則關(guān)于a的不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0的解集是（　　）

• A． $（\sqrt{3}\;，\;\;2）$
• B． （-3，2）
• C． （1，2）
• D． $（\sqrt{3}\;，\;\;\sqrt{5}）$

Answer 1

分析 根據(jù)已知中的函數(shù)解析式，先分析函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及定義域，可將不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0化為1＞a-2＞4-a²＞-1，解不等式組可得答案．

解答 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）
∵f（-x）=$ln\frac{1-x}{1+x}$-sinx=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
又∵f′（x）=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$+cosx＞0，
∴函數(shù)$f（x）=ln\frac{1+x}{1-x}+sinx$在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)，
則不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0可化為：f（a-2）＜-f（a²-4）
即f（a-2）＜f（4-a²），
即-1＜a-2＜4-a²＜1
解得$\sqrt{3}$＜a＜2
故關(guān)于a的不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0的解集是（$\sqrt{3}$，2）．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，解不等式，是函數(shù)圖象和性質(zhì)與不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．