Question

已知圓C：x²+y²=1，點P（x₀，y₀）是直線l：3x+2y-4=0上的動點，若在圓C上總存在不同的兩點A，B使得

OA

+

OB

=

OP

，則x₀的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：向量的加法及其幾何意義

專題：平面向量及應用

分析：在圓C上總存在不同的兩點A，B使得

OA

+

OB

=

OP

，可知：四邊形OAPB是菱形，于是AB垂直平分OP．分類討論：當直線AB的斜率為0時，此時在⊙C上不存在不同的兩點A，B滿足條件．
當直線AB的斜率不存在時，可得P(

4

3

，0)，此時直線AB為：x=

2

3

，滿足條件．
當直線AB的斜率存在且不為0時，利用AB⊥OP，kOP=

y0

x0

，可得直線AB方程為2x0x+2y0y-

x

2 0

-

y

2 0

=0，
圓心到直線AB的距離d=

x 2 0 + y 2 0

2

＜1，即

x

2 0

+

y

2 0

＜4，再利用3x₀+2y₀-4=0，即可解出．

解答： 解：∵在圓C上總存在不同的兩點A，B使得

OA

+

OB

=

OP

，
∴四邊形OAPB是菱形，∴AB垂直平分OP．
當直線AB的斜率為0時，由直線l：3x+2y-4=0得P（0，2），此時在⊙C上不存在不同的兩點A，B滿足條件．
當直線AB的斜率不存在時，由直線l：3x+2y-4=0可得P(

4

3

，0)，此時直線AB為：x=

2

3

，滿足條件．
當直線AB的斜率存在且不為0時，
∵AB⊥OP，kOP=

y0

x0

，∴kAB=-

x0

y0

．
∴直線AB方程為y-

y0

2

=-

x0

y0

(x-

x0

2

)，化為2x0x+2y0y-

x

2 0

-

y

2 0

=0，
圓心到直線AB的距離d=

x 2 0 + y 2 0

2

＜1，即

x

2 0

+

y

2 0

＜4，
又3x₀+2y₀-4=0，化為13

x

2 0

-24x0＜0，
解得0＜x0＜

24

13

，
∴x₀的取值范圍是(0，

24

13

)．
故答案為：(0，

24

13

)．

點評：本題考查了菱形的性質、向量的平行四邊形法則、相互垂直的直線斜率之間的關系、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．