Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，（x≤0）}\\{f（x-1）+1，（x＞0）}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-x-b有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（　　）

• A． b∈（0，$\frac{1}{2}$]
• B． b∈[0，$\frac{1}{2}$）
• C． b∈（-∞，$\frac{1}{2}$]
• D． b∈（-∞，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)定義式確定f（x）在x在每段上解析式，畫出函數(shù)圖象，把函數(shù)g（x）=f（x）-x-b零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與y=x+b交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
運(yùn)用圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)為無(wú)窮個(gè)時(shí)，b的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，（x≤0）}\\{f（x-1）+1，（x＞0）}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x≤0，f（x）=2^x-1，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=2^x-1，
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f（x）=2^x-2+1，
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，f（x）=2^x-3+2，
當(dāng)3＜x≤4時(shí)，f（x）=2^x-4+3，
歸納得出n＜x≤n+1，n∈N，f（x）=2^x-n-1+n

把函數(shù)g（x）=f（x）-x-b零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與y=x+b交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
根據(jù)圖象可以判斷：當(dāng)0≤b$＜\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）與y=x+b有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用函數(shù)圖象判斷，關(guān)鍵是確定f（x）解析式，畫出圖象．