Question

3．設正實數a、b、c、d，滿足abcd=1，證明：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}6gccw2w$+$\frac{9}{a+b+c+d}$≥$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 設$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}km4cu0e$+$\frac{9}{a+b+c+d}$=k，兩邊同乘以（a+b+c+d），利用基本不等式，結合abcd=1，即可證明結論．

解答 證明：設$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}kcui8ag$+$\frac{9}{a+b+c+d}$=k，則兩邊同乘以（a+b+c+d），得：
k（a+b+c+d）
=1+$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$+$\fracceyeuem{a}$+$\frac{a}$+1+$\frac{c}$+$\frac42sou4e$+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$+1+$\fracmuogeoq{c}$+$\frac{a}4ggaksi$+$\fracsm6my6q$+$\frac{c}esgcsw2$+1+9
=13+（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\fracyucws2s{a}$+$\frac{a}uieumuk$）+（$\frac{c}$+$\frac{c}$）+（$\fracgeaogcm$+$\fracumgiece$）+（$\frack0eeouw{c}$+$\frac{c}umqeqci$）
∴當$\frac{a}$=$\frac{a}$、$\frac{c}{a}$=$\frac{a}{c}$、$\fracmwy2iuc{a}$=$\frac{a}koy4siy$、$\frac{c}$=$\frac{c}$、$\fracoe0cuyk$=$\frackso0kke$、$\frac04qmi2a{c}$=$\frac{c}8iyusm4$時，k（a+b+c+d）有最小值．
且最小值為：13+2+2+2+2+2+2=25．
當$\frac{a}$=$\frac{a}$、$\frac{c}{a}$=$\frac{a}{c}$、$\frac2siiia6{a}$=$\frac{a}qg2guy4$、$\frac{c}$=$\frac{c}$、$\fracciiwu2a$=$\fracik4icew$、$\fracqgk64gi{c}$=$\frac{c}y2wq2mu$時，容易得到：a=b=c=d．
又abcd=1，∴此時a=b=c=d=1，得：a+b+c+d=4．
∴k（a+b+c+d）≥25，∴4k≥25，∴k≥$\frac{25}{4}$．　
即：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}yayi860$+$\frac{9}{a+b+c+d}$≥$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，設$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}wo6ksqw$+$\frac{9}{a+b+c+d}$=k，兩邊同乘以（a+b+c+d），利用基本不等式是關鍵．