Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），則S₁₀₀=$\frac{1}{200}$．

Answer 1

分析 a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），變形為$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），
∴S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，
化為$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$為等差數(shù)列，首項為2，公差為2，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
∴S_n=$\frac{1}{2n}$．
∴S₁₀₀=$\frac{1}{200}$．
故答案為：$\frac{1}{200}$．

點評 本題考查了遞推式的應用、等差數(shù)列的通項公式，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．