Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為8，側(cè)棱長為6，D為AC中點．
（1）求證：AB₁∥平面C₁DB； 
（2）求異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，連接B₁C交BC₁于E，連接DE，利用四邊形BCC₁B₁是平行四邊形及其三角形的中位線定理、線面平行的判定定理即可證明；
（2）由（1）知∠DEB或其補角為異面直線AB₁與BC₁所成的角，再利用余弦定理即可得出．

解答：（1）證明：如圖所示，
連接B₁C交BC₁于E，連接DE，
∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，∴B₁E=EC．
又AD=DC．
∴DE∥AB₁，
而DE?平面C₁DB，AB₁?平面C₁DB，
∴AB₁∥平面C₁DB．
（2）解：由（1）知∠DEB或其補角為異面直線AB₁與BC₁所成的角，
在△DEB中，DE=5，BD=4

3

，BE=5．
∴cos∠DEB=

52+52-(4 3 )2

2×5×5

=

1

25

．

點評：本題考查了正三棱柱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、異面直線所成的角、余弦定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．