【題目】如圖，已知線段AB長(zhǎng)度為a（a為定值），在其上任意選取一點(diǎn)M，在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是這兩個(gè)正方形的外接圓，它們交于點(diǎn)M、N．試以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系．

（1）證明：不論點(diǎn)M如何選取，直線MN都通過一定點(diǎn)S；
（2）當(dāng) 時(shí)，過A作⊙Q的割線，交⊙Q于G、H兩點(diǎn)，在線段GH上取一點(diǎn)K，使 = 求點(diǎn)K的軌跡．

【答案】
（1）證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系．

設(shè)M（m，0），則：A（0，0），B（a，0），C（m，m），F(xiàn)（m，a﹣m），

， ，

⊙P方程為： ，即：x2+y2﹣mx﹣my=0 ①，

⊙Q方程為： 即：x2+y2﹣（a+m）x﹣（a﹣m）y+am=0 ②．

①﹣②得，公共弦MN所在直線方程：ax+（a﹣2m）y﹣am=0．

整理得：（ax+ay）+m（﹣2y﹣a）=0，

∴MN恒過定點(diǎn) ；


（2）解：當(dāng) 時(shí)， ，

⊙Q： ，即： ．

設(shè)G（x1，y1），H（x2，y2），K（x，y），GH所在直線斜率為k，

則： ， ， ，

由題意， ，即： ．

把y=kx代入⊙Q方程，得： ，

由韋達(dá)定理得： ， ，

∴ ，將 代入整理，得：2x+y﹣a=0．

∴點(diǎn)K的軌跡是直線2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一條線段．


【解析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，求出圓P、圓Q的方程，由圓系方程求得MN所在直線方程，再由直線系方程可得直線MN都通過一定點(diǎn)；（2）由題意求出M的坐標(biāo)，得到圓Q的方程，設(shè)G（x1 ， y1），H（x2 ， y2），K（x，y），GH所在直線斜率為k，由 = ，可得 ，整理后代入根與系數(shù)的關(guān)系可得點(diǎn)K的軌跡是直線2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一條線段．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)在直線上， 為橢圓上位于軸上方的一點(diǎn)且軸， 為橢圓上不同于的兩點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】直線x＋y－1＝0被圓(x＋1)2＋y2＝3截得的弦長(zhǎng)等于(　　)

A. B. 2

C. 2 D. 4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖（1），在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體如圖（2），使G1、G2、G3三點(diǎn)重合于點(diǎn)G．證明：

（1）G在平面SEF上的射影為△SEF的垂心；
（2）求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．

（1）證明：BE∥平面ADP；
（2）求直線BE與平面PDB所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE和AD的交點(diǎn)，AC⊥BC，且AC=BC=2

（1）求證：AM⊥平面EBC
（2）（文）求三棱錐C﹣ABE的體積．
（3）（理）求二面角A﹣EB﹣C的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知， 為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中，且

（1）求證：線段的垂直平分線恒過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為Sn ， 且對(duì)任意的m，n∈N*，
都有（Sm+n+S1）2=4a2ma2n ．
（1）求 的值；
（2）求證：{an}為等比數(shù)列；
（3）已知數(shù)列{cn}，{dn}滿足|cn|=|dn|=an ， p（p≥3）是給定的正整數(shù)，數(shù)列{cn}，{dn}的前p項(xiàng)的和分別為Tp ， Rp ， 且Tp=Rp ， 求證：對(duì)任意正整數(shù)k（1≤k≤p），ck=dk ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)及兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，圓C方程為.

（1）求橢圓及圓C的方程；

（2）過原點(diǎn)O作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案