【題目】如圖,已知線段AB長度為a(a為定值),在其上任意選取一點(diǎn)M,在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF,⊙P和⊙Q是這兩個(gè)正方形的外接圓,它們交于點(diǎn)M、N.試以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.
(1)證明:不論點(diǎn)M如何選取,直線MN都通過一定點(diǎn)S;
(2)當(dāng) 時(shí),過A作⊙Q的割線,交⊙Q于G、H兩點(diǎn),在線段GH上取一點(diǎn)K,使 = 求點(diǎn)K的軌跡.
【答案】
(1)證明:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB為x軸正方向,建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)M(m,0),則:A(0,0),B(a,0),C(m,m),F(xiàn)(m,a﹣m),
, ,
⊙P方程為: ,即:x2+y2﹣mx﹣my=0 ①,
⊙Q方程為: 即:x2+y2﹣(a+m)x﹣(a﹣m)y+am=0 ②.
①﹣②得,公共弦MN所在直線方程:ax+(a﹣2m)y﹣am=0.
整理得:(ax+ay)+m(﹣2y﹣a)=0,
∴MN恒過定點(diǎn) ;
(2)解:當(dāng) 時(shí), ,
⊙Q: ,即: .
設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),K(x,y),GH所在直線斜率為k,
則: , , ,
由題意, ,即: .
把y=kx代入⊙Q方程,得: ,
由韋達(dá)定理得: , ,
∴ ,將 代入整理,得:2x+y﹣a=0.
∴點(diǎn)K的軌跡是直線2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一條線段.
【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB為x軸正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,求出圓P、圓Q的方程,由圓系方程求得MN所在直線方程,再由直線系方程可得直線MN都通過一定點(diǎn);(2)由題意求出M的坐標(biāo),得到圓Q的方程,設(shè)G(x1 , y1),H(x2 , y2),K(x,y),GH所在直線斜率為k,由 = ,可得 ,整理后代入根與系數(shù)的關(guān)系可得點(diǎn)K的軌跡是直線2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一條線段.
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【題目】已知橢圓: 的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)在直線上, 為橢圓上位于軸上方的一點(diǎn)且軸, 為橢圓上不同于的兩點(diǎn),且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖(1),在正方形SG1G2G3中,E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn),現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體如圖(2),使G1、G2、G3三點(diǎn)重合于點(diǎn)G.證明:
(1)G在平面SEF上的射影為△SEF的垂心;
(2)求二面角G﹣SE﹣F的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).
(1)證明:BE∥平面ADP;
(2)求直線BE與平面PDB所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直,M是CE和AD的交點(diǎn),AC⊥BC,且AC=BC=2
(1)求證:AM⊥平面EBC
(2)(文)求三棱錐C﹣ABE的體積.
(3)(理)求二面角A﹣EB﹣C的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, 為拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn),其中,且
(1)求證:線段的垂直平分線恒過定點(diǎn),并求出點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)的和為Sn , 且對任意的m,n∈N*,
都有(Sm+n+S1)2=4a2ma2n .
(1)求 的值;
(2)求證:{an}為等比數(shù)列;
(3)已知數(shù)列{cn},{dn}滿足|cn|=|dn|=an , p(p≥3)是給定的正整數(shù),數(shù)列{cn},{dn}的前p項(xiàng)的和分別為Tp , Rp , 且Tp=Rp , 求證:對任意正整數(shù)k(1≤k≤p),ck=dk .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,以橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)及兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為,圓C方程為.
(1)求橢圓及圓C的方程;
(2)過原點(diǎn)O作直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),若,求直線l的方程.
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