Question

已知函數(shù)f（x）=-lnx+

1

2

ax2+（1-a）x+2．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若0＜x＜1，求證：f（1+x）＜f（1-x）；
（Ⅲ）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為函數(shù)y=f（x）的圖象上的兩點，記k為直線AB的斜率，若x₀=

x1+x2

2

，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求證：f′（x₀）＞k．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=ln（1-x）-ln（1+x）+2x，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值為0，即得結(jié)論；
（Ⅲ）利用斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義及（Ⅱ）的結(jié)論即可得證．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-

1

x

+ax+（1-a）=

(ax+1)(x-1)

x

，
∴當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
（Ⅱ）f（1+x）-f（1-x）=ln（1-x）-ln（1+x）+2x，
令g（x）=ln（1-x）-ln（1+x）+2x，
∴g′（x）=

2x2

x2-1

，
∵0＜x＜1，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0．
∴f（1+x）＜f（1-x）．
（Ⅲ）k=

y1-y2

x1-x2

=

lnx2-lnx1

x2-x1

+

1

2

a（x₂-x₁）+1-a，
f′（x₀）=-

1

x0

+ax₀+1-a＞

lnx2-lnx1

x2-x1

+

1

2

a（x₂-x₁）+1-a，?

2

x2+x1

＜

lnx2-lnx1

x2-x1

?ln

x2

x1

＞2

x2 x1 -1

x2 x1 +1

，
令x₂＞x₁＞0，

x2 x1 -1

x2 x1 +1

=t，（0＜t＜1），∴

x2

x1

=

1+t

1-t

，
ln

x2

x1

＞2

x2 x1 -1

x2 x1 +1

?ln

1+t

1-t

＞2t?ln（1+t）-ln（1-t）+2t＜0，
由（Ⅱ）可知上式成立．
∴f′（x₀）＞k成立．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值等知識，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，注意構(gòu)造法的合理應(yīng)用，邏輯性強，屬于難題．