Question

已知數(shù)列滿足．
（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足．證明：數(shù)列是等差數(shù)列．
（3）證明：．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，就是證明為一個(gè)常數(shù). 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043855798772.png" style="vertical-align:middle;" />,所以，所以,是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. 則,即,；（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列，就是要證明為一個(gè)常數(shù)．首先化簡等式，即，所以，這實(shí)質(zhì)是，因此作差消去得：，再作差消去常數(shù)得：，，即；（3）證明數(shù)列不等式，一般有兩個(gè)思路，一是求和，二是放縮.本題由于通項(xiàng)不適宜求和，所以嘗試放縮，即利用變量分離進(jìn)行放縮，由，得.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043855798772.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,且,
所以,是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.  2分
則,即,.  3分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043856297901.png" style="vertical-align:middle;" />所以.   4分
所以    ①
 ②      6分
②-①,得  
即   ③
   ④  8分
④-③,得,
即
得, 10分
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
(3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240438564681316.png" style="vertical-align:middle;" />, 11分
所以. 12分