【題目】已知橢圓E: (a>b>0)的左焦點F1與拋物線y2=﹣4x的焦點重合,橢圓E的離心率為
,過點M (m,0)(m>
)作斜率不為0的直線l,交橢圓E于A,B兩點,點P(
,0),且
為定值.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求△OAB面積的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)設F1(﹣c,0),
∵拋物線y2=﹣4x的焦點坐標為(﹣1,0),且橢圓E的左焦點F與拋物線y2=﹣4x的焦點重合,∴c=1,
又橢圓E的離心率為 ,得a=
,于是有b2=a2﹣c2=1.
故橢圓Γ的標準方程為: .
(Ⅱ)設A(x1 , y1),B(x2 , y2),直線l的方程為:x=ty+m,
由 整理得(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0
,
,
=
=(t2+1)y1y2+(tm﹣ t)(y1+y2)+m2﹣
=
.
要使 為定值,則
,解得m=1或m=
(舍)
當m=1時,|AB|= |y1﹣y2|=
,
點O到直線AB的距離d= ,
△OAB面積s= =
.
∴當t=0,△OAB面積的最大值為
【解析】(Ⅰ)由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標,即橢圓左焦點坐標,結合橢圓離心率可得長半軸長,再由b2=a2﹣c2求出短半軸,則橢圓E的標準方程可求;(Ⅱ)設A(x1 , y1),B(x2 , y2),直線l的方程為:x=ty+m,由 整理得(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0由
為定值,解得m,|AB|=
|y1﹣y2|=
,點O到直線AB的距離d=
,△OAB面積s=
即可求得最值
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設橢圓:
的離心率與雙曲線
的離心率互為倒數,且橢圓的長軸長為4.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線交橢圓
于
,
兩點,
(
)為橢圓
上一點,求
面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=x3+bx2+cx-1,當x=-2時有極值,且在x=-1處的切線的斜率為-3.
(1)求函數f(x)的解析式.
(2)求函數f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值與最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知定義在區(qū)間上的函數
,
(1)判定函數在
的單調性,并用定義證明;
(2)設方程有四個不相等的實根
.
①證明:;
②在是否存在實數
,使得函數
在區(qū)間
單調,且
的取值范圍為
,若存在,求出
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=(a﹣bx3)ex﹣ ,且函數f(x)的圖象在點(1,e)處的切線與直線x﹣(2e+1)y﹣3=0垂直.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)求證:當x∈(0,1)時,f(x)>2.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com