Question

3．三棱錐A-BCD中，AB=CD=2$\sqrt{2}$，AC=BD=AD=2$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{DB}$$•\overrightarrow{DC}$=4，則三棱錐A-BCD外接球的體積為（　　）

• A． 8π
• B． $\frac{32}{3}$π
• C． $\frac{16}{3}$π
• D． 12π

Answer 1

分析 先求出BC，可得三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱兩兩相等，把它擴展為長方體，它也外接于球，求出外接球半徑，可得三棱錐A-BCD外接球的體積．

解答 解：∵CD=2$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{DB}$$•\overrightarrow{DC}$=4，
∴2$\sqrt{2}•2\sqrt{3}•cos∠BDC$=4，
∴cos∠BDC=$\frac{1}{\sqrt{6}}$，
∴BC=$\sqrt{8+12-2•2\sqrt{2}•2\sqrt{3}•\frac{1}{\sqrt{6}}}$=2$\sqrt{3}$，
∴三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱兩兩相等，把它擴展為長方體，
它也外接于球，且此長方體的面對角線的長分別為：2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$
體對角線的長為球的直徑，d=$\sqrt{\frac{1}{2}（8+12+12）}$=4
∴它的外接球半徑是2
∴三棱錐A-BCD外接球的體積為$\frac{4}{3}π•4$=$\frac{16}{3}π$．
故選：C．

點評 本題考查三棱錐A-BCD外接球的體積，球內(nèi)接多面體及其度量，考查空間想象能力，計算能力，是中檔題，解答的關(guān)鍵是構(gòu)造球的內(nèi)接長方體，利用體對角線的長為球的直徑解決問題．